Adicão com Fração

Adição

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A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar frações representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adição :

Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações:

Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador.

No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.

Como vamos somar e por exemplo?

Agora precisamos descobrir a que fração corresponde a parte sombreada que representa .

A solução do problema está no fato de que é possível escrever de muitas outras maneiras, o mesmo ocorrendo com . Procuraremos, então, nas várias escritas de e de , aquelas que têm denominadores iguais:

Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever , escrevemos , e em vez de , escrevemos . Este processo se chama "reduzir frações ao mesmo denominador".

Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição:

Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes:

Podemos, então, formular a regra:

Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior.

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Qual é o resultado de 2 + 2/3 ?

Multiplicação junto com Fração

Multiplicação

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Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.

Da mesma forma: .

Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais.

O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, .

Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira.

Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.

Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", ou de, de, de, conduzem a divisões.

Para se ter a metade, é necessário dividir por 2.

Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.

E assim por diante.

Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.

Comecemos pelo exemplo citado:

O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de .

Começamos por representar :

Depois, marcamos "a terça parte" de :

Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de :

Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:

Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo?

A parte marcada corresponde a do retângulo todo.

Concluímos que .

Podemos resumir tudo isso numa regra simples:

Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:

. Vamos calcular

Temos

Queremos a metade de

A figura nos mostra que a metade de é , ou seja:

. Agora vamos calcular

Dividimos em 4 partes:

Agora tomamos 3 dessas partes:

ou seja:

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Dê os resultados de: (a) (3/5 x 4/7) (b) (1/3 x 1/8)

Divisão e Fração

Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.

1° caminho: REPARTINDO

Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.

Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de da barra:

Então, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos: .

2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?

Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.

Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.

Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de , estamos querendo saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente:

Então podemos escrever:

Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.

Quem quer fazer e testar a inteligência?

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Encontre os resultados das divisões abaixo. Para isto, comece escolhendo um dos dois caminhos já apresentados. (a) 1/3 : 1/6 = (b) 4 : 4/5 =